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PREGUNTAS Y SOLUCION

LIMITES


DEFINICIÓN INTUITIVA DE LIMITE:

Si a y L son números, la expresión Se lee, limite cuando x tiende a a de f(x) es L.
Significa, que si la variable independiente x
toma valores próximos al número a los valores correspondientes de f(x) se aproximan al número L.


NOTA:Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además es UNICO.

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y es imprescindible para dar solución a problemas tales como:
  • calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.

  • hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado.

  • determinar el área limitada por una curva.




EJEMPLOS N° 1:

Dada la función f(x) = x2 - 3x ¿cómo se comportan los valores de la función cuando se aproxima a x = -1 ? en otras palabras, ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a –1 ?

Para ello, elaboramos de una tabla donde donde se calculan las imágenes de los valores de x que consideramos próximos a x:

Seleccionemos unos valores de x cerca a -1 por la izquierda y por la derecha:


Evaluemos estos valores en la función f(x) para hallar su imagen:

Valores a la izquierda de - 1
Valores a la derecha de - 1
x
-1.01
-1.001
-1.0001
...
- 1
...
- 0,9999
- 0,999
- 0,99
f(x)
4,0501
4,005001
4,00050001
...
4
...
3,99950001
3,995001
3,9501
Cuando x tiende a -1 por la izquierda f(x) tiende a 4
Cuando x tiende a -1 por la derecha f(x) tiende a 4

Se lee de la siguiente manera: "El límite de la función f(x) = (x2 - 3x) cuando x tiende a -1 es 4." y simbólicamente lo representamos de la siguiente manera:


GRÁFICAMENTE

NOTAS:
No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.

¿No es posible calcular el valor de la función en x = -1 y evitar la construcción de la tabla?

En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = -1.

f(-1) = (-1)2 - 3.(-1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede para todas las funciones.


EJEMPLOS N° 2:

Dada la función f(X) = (x - 2) / (x - 1)
¿cómo se comportan los valores de la función cuando se aproxima a x = 1 ? en otras palabras, ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a 1 ?

Para ello, elaboramos de una tabla donde donde se calculan las imágenes de los valores de x que consideramos próximos a x:

Seleccionemos unos valores de x cerca a 1 por la izquierda y por la derecha:


Evaluemos estos valores en la función f(x) para hallar su imagen:

Valores a la izquierda de 1
Valores a la derecha de 1
x
0.99
0.999
0.9999
...
1
...
1.0001
1.001
1.01
f(x)
101
1001
10001
...
NE
...
- 9999
- 999
- 99
Cuando x tiende a 1 por la izquierda f(x) tiende a 10000
Cuando x tiende a 1 por la derecha f(x) tiende a -10000

Se lee de la siguiente manera: "El límite de la función f(x) = (x - 2) / (x - 1) cuando x tiende a 1 NO EXISTE." y simbólicamente lo representamos de la siguiente manera:

GRÁFICAMENTE



EJEMPLOS N° 1:



EJEMPLOS N° 2:



EJEMPLOS N° 3:



EJEMPLOS N° 4:



EJERCICIOS PROPUESTOS::

Elaborar una tabla de valores y hallar el límite si existe, de las siguientes expresiones.






















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