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PREGUNTAS Y SOLUCION

REGLA DE LA CADENA

INTRODUCCIÓN
Ahora analizaremos una de las reglas de derivación más potentes: la regla de la cadena. Ésta se aplica a las funciones compuestas y añade versatilidad a las reglas analizadas anteriormente (Reglas de derivación). Como ejemplo, comparar las funciones que se muestran a continuación; las de la izquierda se pueden derivar sin la regla de la cadena, mientras que a las de la derecha conviene aplicarles dicha regla.

SIN REGLA DE LA CADENA
CON REGLA DE LA CADENA

TEOREMA

Si y = f(u) es una función derivable de u y además u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable de x y simbólicamente lo expresamos mediante la siguiente formula:


En esencia, la regla de la cadena establece que si y cambia dy/du veces más rápido que u, mientras que u cambia du/dx veces más rápido que x, entonces y cambia (dy/du)(du/dx) veces más rápido que x.


Al aplicar la regla de la cadena, es útil considerar que la función compuesta ƒ • g está constituida por dos partes: una interior y otra exterior.


La derivada de y = ƒ(u) es la derivada de la función exterior (en la función interior u) multiplicada por la derivada de la función interior.


FUNCIONES DERIVABLES POR REGLA DE LA CADENA


EJEMPLO N° 1
Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de la función

PASO N° 1: Escribamos la Función Interior y la Función Exterior.


PASO N° 2: Calculemos las derivadas.


PASO N° 3: Usando la regla de la cadena se tiene.


PASO N° 4: Expresamos la derivada simbolicamente.



EJEMPLO N° 2
En algunos casos podemos transformar una función para no usar la regla de la cadena, pero siempre resultará más más rápido calcular la derivada de un función aplicando la regla de la cadena, veamos:

Hallar la derivada de la siguiente función:

PASO N° 1: Escribamos la Función anterior en forma de producto.


PASO N° 2: Aplicar la regla de derivación de un producto.





EJEMPLO N° 3
Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de la función

PASO N° 1: Escribamos la Función Interior y la Función Exterior.


PASO N° 2: Calculemos las derivadas.


PASO N° 3: Usando la regla de la cadena se tiene.


PASO N° 4: Expresamos la derivada simbolicamente.


EJEMPLO N° 4
Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de la función

Reescribamos la función como:

PASO N° 1: Escribamos la Función Interior y la Función Exterior.


PASO N° 2: Calculemos las derivadas.


PASO N° 3: Usando la regla de la cadena se tiene.


PASO N° 4: Expresamos la derivada simbolicamente.



EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO N° 1


EJEMPLO N° 2


EJEMPLO N° 3


EJEMPLO N° 4





EJERCICIOS PROPUESTOS


Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de las siguientes funciones:























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