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PREGUNTAS Y SOLUCION

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

DEFINICIÓN:

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior dividido por un número fijo llamado razón que se representa por la letra r.

Como saber si una sucesión es una progresión geométrica: si dividiendo dos términos consecutivos el resultado es siempre una constante.

EJEMPLO N° 1:  

Dada la sucesión an = { 2, 4, 8. 16. 32. 64. 128, ... 2n } decir si es una progresión Geométrica o no ?:

Para que sea una progresión geométrica, si dividimos
dos términos consecutivos tiene que dar una constante:

4 ÷ 2 = 2
8 ÷ 4 = 2
16 ÷ 8 = 2
32 ÷ 16 = 2
64 ÷ 32 = 2

La sucesión an = { 2, 4, 8. 16. 32. 64. 128, ... 2n}, SI ES UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA y r = 2.

TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA  

Si conocemos el 1er término de una sucesión geométrica y su razón, podemos establecer cada uno de los términos que conforman la sucesión de la siguiente manera:

EJEMPLO N° 2:  

Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = 3 y cuya rezón es r = 2, Hallar los términos de la sucesión.

an = {3,    3 x 2,    6 x 2,    12 x 2,    24 x 2, … }

an = {3,    6,    12.   24,    48,    96,    192, … ,2n}
EJEMPLO N° 3:  

Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = 1 y cuya razón es r = 3, Hallar los términos de la sucesión.

an = {1,     1 x 3,    3 x 3,    9 x 3,    27 x 3, … }

an = {1,    3,    9.   27,    81, … , 3n - 1}


TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Si conocemos el 1er término de una sucesión geométrica y su razón, podemos establecer el término general de la sucesión mediante la siguiente fórmula:

an = a1 . r(n - 1)
Donde,

r = la razón entre dos términos consecutivos.
a1 = Primer término de la sucesión.
n = n - esimo término.

NOTA: la razón r, se obtiene dividiendo dos términos consecutivos, r = an + 1 ÷ an

EJEMPLO N° 4:  

Dada la sucesión an = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... }, Hallar el término general.

PASO N° 1: Verificamos si es una progresión geométrica

2 ÷ 1 = 2
4 ÷ 2 = 2
8 ÷ 4 = 2
16 ÷ 8 = 2
32 ÷ 16 = 2

Si es una progresión geométrica cuya razón r = 2
.
PASO N° 2: Especifiquemos el valor de a1 y r:

          a1 = 1
          r = a2 ÷ a1             →             r = 2 ÷ 1             →             r = 2

PASO N° 3:     Apliquemos la formula     an = a1 . r n - 1 .

          an = 1 . 2 n - 1             →             an = 2 n - 1             →             an = 2 n - 1.

PASO N° 4: Reescribimos la progresión aritmética con todos sus términos incluyendo el término general an.

an = { 1, 2, 4. 8, 16 , 32, 64, ... 2 n - 1 }



EJERCICIOS RESUELTOS

Para iniciar la presentación, hacer click sobre ella, luego para ir avanzando la animación, click con la flecha derecha del teclado.

EJEMPLO N° 1:  



EJEMPLO N° 2:  



EJEMPLO N° 3:  



EJEMPLO N° 4:  



EJERCICIOS PROPUESTOS 


1. an = {3, -9, 27, -81,… }

2. an = {-2, 10, -50, 250,… }

3. an = {27, 9, 3, 1,… }

4. an = {1 4, 16, 64,… }
APLICACIONES  


1. En una progresión geométrica los termino a6 = 4 y a7 = 8, hallar los cinco primeros términos. La razón y su término general.

2. En una progresión geométrica a1 = 3 y r = 2, hallar el término de la posición n = 10. Sol: 1536

3. El primer día de funcionamiento, una bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido de un depósito. Si el depósito tiene inicialmente 4096 litros y en los días siguientes la bomba extrae siempre la mitad del líquido que quedó el día anterior. Determine la cantidad de líquido que ha quedado el quinto día.

4. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 26 y su producto 216.

5. Una determinada bacteria se reproduce por bipartición cada 10 minutos, es decir, cada bacteria se divide en dos cada 10 minutos. ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 8 horas?

6. Una máquina costó $4.500.000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 5% del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 15 años? Rta: 2194537

7. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m3. Rta: a1 = 5, a2 = 20 a3 = 80


1 comentario:

  1. Urgente¡
    Hola, me solicitan averiguar si es una sucesion monotona o no y si convergen o no y justificar la respuesta …..ya intente de todas las formas posibles trate de buscar la diferencia pero esta no es constante , igual paso con la razon comun intente buscarla pero no es constante y probe segun la ubicacion del termino y tampoco ……no se que mas hacer, me pueden ayudar? los terminos son 6,11,18,27,38,51…. o me pueden aclarar que pasa en este caso ?

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