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PREGUNTAS Y SOLUCION

IDEA INTUITIVA DE DERIVADA


IDEA INTUITIVA : La derivada mide el ritmo de cambio de una variable respecto de otra.

En nuestro caso analizamos la razón entre el incremento en el eje y, y el incremento en el eje x de diferentes puntos que pertenecen a una curva (Gráfica). Es decir, para subir una unidad en el eje y, necesitamos saber cuantas unidades se recorren en el eje x.

EJEMPLO N° 1:

Dada la función f(x) = √x , hallar la razón del incremento entre el eje y y el eje x en el punto x = 1 .

PASO N°1: Dibujemos la gráfica de f(x), con ayuda de un graficador.


PASO N°2: Trazamos la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x = 1. (Línea roja).


PASO N°3: Observamos el triángulo delimitado por los segmentos que unen los siguientes punto:

  • Punto de tangencia (Punto A)
  • El punto de coordenadas ENTERAS por donde pasa la tangente y mas cercano al punto A (Punto B)
  • El punto de intersección entre los segmentos perpendiculares que pasan por A y B. (Punto C)

Como podemos observar en la siguiente gráfica para ascender 1 unidad en el eje y debemos de recorrer 2 unidades en el eje x .


  • Si denotamos por Δy, el incremento en la ordenada y.
  • Y si denotamos por Δx, el incremento en la ordenada x.

Simbólicamente representamos esta razón de la siguiente manera:

Matemáticamente decimos que esta razón es la pendiente de la recta tangente a f(x) = √x en en el punto de abscisa x = 1 y simbólicamente representamos como:


EJEMPLO N° 2: UTILIZANDO EL SIGUIENTE APPLET.
Dada la función f(x) = √x , hallamos la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x = 4 .


EJEMPLO N° 3: UTILIZANDO EL SIGUIENTE APPLET.
Dada la función f(x) = √x , hallamos la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x = 9 .



NOTA

1. Si la recta tangente es CRECIENTE (Asciende de izquierda a derecha) la pendiente es POSITIVA.

2. Si la recta tangente es DECRECIENTE (Desciende de izquierda a derecha) la pendiente es NEGATIVA.


EJERCICIOS PROPUESTOS


1       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = -2.



2       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = -1.



3       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 2.



4       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0.



5       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0.



6       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0.



7       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 1.



8       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 1.



9       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0.



10       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0.



11       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 1.



12       Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto x = 2.




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