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PREGUNTAS Y SOLUCION

FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

Las Funciones son cierto tipo de relaciones por tanto podemos afirmar que las funciones también establecen relación de dependencia entre sus variables Una relación es función cuando cumple las siguientes condiciones:

  1. Todos los elementos del conjunto de partida se relacionan; es decir en el conjunto de partida no pueden quedar elementos sin relacionarse, ya que cada elemento debe de tener su imagen, más claro, el dominio de la relación es igual al conjunto de partida. Si esta condición no se cumple, podemos redefinir el primer conjunto (hacerlo igual al dominio) y así lograr que se cumpla.

  2. Todos los elementos del conjunto de partida se relacionan una sola vez.
Definición: (Función)

Una función entre dos conjuntos A y B es una relación donde a cada (todos) elemento de A le corresponde uno y solo uno elemento de B.

Simbólicamente: f : A → B Es función si ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B / (x, y) ∈ f

Ejemplo N° 1

Si A = {1, 2, 3} y B = { 4, 5, 6 }, encontrar la siguiente relación definida de A en B y decir si es función.

R1 está definida como el conjunto de pares ordenados R1 = {(x, y) / y = x + 3}

Solución:

El conjunto solución está conformado por todos las parejas ordenadas donde a la primera componente le sumamos 3 unidades:
R1 = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

Veamos si la RELACIÓN R1 cumple las dos condiciones para se una FUNCIÓN .
  1. Como podemos observar todo los los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} están relacionados
  2. Todos los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} están relacionados UNA SOLA vez.
Por lo tanto,

R1 ES UNA FUNCIÓN


REPRESENTACIÓN GRÁFICA



Ejemplo N° 2

Si A = {1, 2, 3} y B = { 4, 5, 6 }, encontrar la siguiente relación definida de A en B y decir si es función.

R2 está definida como el conjunto de pares ordenados R2 = {(x, y) / y = 2x}

Solución:

El conjunto solución está conformado por todos las parejas ordenadas donde a la segunda componente es igual 2 veces la primera componente:
R2 = {(2, 4), (3, 6)}

Veamos si la RELACIÓN R1 cumple las dos condiciones para se una FUNCIÓN .
  1. Como podemos observar NO todo los los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} están relacionados

  2. Para hacer que se cumpla esta condición basta con REDEFINIR el conjunto A, eliminando el elemento {1} y volviendo a escribir el conjunto A = {2,3} asi, miremos si se cumple la segunda condición:

  3. Todos los elementos del conjunto A = {2, 3} están relacionados UNA SOLA vez.
Por lo tanto,

R2 ES UNA FUNCIÓN


REPRESENTACIÓN GRÁFICA


Fijémonos que en el conjunto B = {4, 5, 6}, hay un elemento que NO está RELACIONADO , pero esto no es NINGÚN INCONVENIENTE para que la relación sea una FUNCIÓN.

(En el segundo conjunto pueden sobrar elementos, en el primero NO)

Ejemplo N° 3

Si A = {1, 2, 3} y B = { 4, 5, 6 }, encontrar la siguiente relación definida de A en B y decir si es función.

R1 está definida como el conjunto de pares ordenados R3 = {(x, y) / y = múltiplo de x}

Solución:

El conjunto solución está conformado por todos las parejas ordenadas donde la segunda componente es múltiplo de la primera componente
R3 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6)}

Veamos si la RELACIÓN R3 cumple las dos condiciones para se una FUNCIÓN .
  1. Como podemos observar NO todo los los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} están relacionados

  2. Para hacer que se cumpla esta condición basta con REDEFINIR el conjunto A, eliminando el elemento {1} y volviendo a escribir el conjunto A = {2,3} asi, miremos si se cumple la segunda condición:

  3. Todos los elementos del conjunto A = {2, 3} están relacionados PERO NO UNA SOLA vez.
Por lo tanto,

R3 NO ES UNA FUNCIÓN


REPRESENTACIÓN GRÁFICA


Fijémonos que en el conjunto A = {2, 3}, hay un elemento que está RELACIONADO , con DOS elementos del conjunto B, por tanto la relación R3 NO ES UNA FUNCIÓN.


EJERCICIOS PROPUESTOS:


Dados los siguientes conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 4, 5}, Hallar las relaciones definidas de A en B y decir cuales son funciones verificando las dos condiciones y en cada uno de los casos representar gráficamente.

1. R1 = {(x, y) / x < y}

2. R2 = {(x, y) / x > y}

3. R3 = {(x, y) / y > x + 2}

4. R4 = {(x, y) / y = 1}

5. R5 = {(x, y) / x + y = 3}

6. R5 = {(x, y) / y = x}

6. R6 = {(x, y) / y = x2 + 1}

7. R7 = {(x, y) / y = x2 - 2}

8. R8 = {(x, y) / y - 2 = x}

9. R9 = {(x, y) / y = x2 - 2x + 2}

10. R10 = {(x, y) / y = x2 + 1}

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