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PREGUNTAS Y SOLUCION

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

INTRODUCCIÓN



PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de la recta que pasa por los puntos   (x0,   y0)   y   (x1,   y1) es: es decir, el
incremento de la variable y dividido por el incremento de la variable x .


LA PENDIENTE GRÁFICAMENTE




RECTA TANGENTE

La recta tangente es aquella recta que presenta un único punto en común con una curva, es decir, el punto de tangencia, siendo este el punto que genera la pendiente de la curva.



RECTA SECANTE

Se denomina recta secante a aquella recta que corta a una curva en dos puntos determinados A y B. Y conforme estos puntos de corte se acercan, la recta va aproximándose a un solo punto y al solo existir un punto que toca la curva se le denomina recta tangente.



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA


Identifiquemos algunos elementos importantes: (EN EL APPLET DE ABAJO)

  1. La curva gris es la función f(x)

  2. La Recta roja es la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x. Llamamos punto P.

  3. La Recta azul es la recta secante a f(x) y pasa por los punto P y Q.

      • El punto P tiene coordenadas P(x, f(x))
      • El punto Q tiene coordenadas Q(x + h, f(x + h))

  4. El incremento de las Abscisas Δx = (x + h — x) = h

  5. El incremento de las Ordenadas Δy = f(x + h) — f(x)

  6. El ángulo que forman la recta tangente y el eje x es el ángulo α (ángulo rojo)

  7. El ángulo que forman la recta secante y el eje x es el ángulo β (ángulo azul)

  8. El ángulo β (ángulo azul abajo) = El ángulo β1 (ángulo azul arriba)


LONGITUDES DE SEGMENTOS


PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE) Linea Roja


Si arrastramos el punto Q hacia el punto P, podemos observar que se cumple la siguiente igualdad:



Ahora solo nos falta saber a que es igual Tan Β



Reemplazando el resultado de Tan Β en la ecuación anterior (Color Azul), quedaría de la siguiente manera:



Podemos concluir que la derivada de una función f(x) en cualquier punto esta dada por la siguiente expresión:




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