RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

Tangentes y normales:

Uno de los problemas más antiguo de la Geometría y por tanto de la Matemática fue el problema de encontrar rectas tangentes y normales a una curva dada. Este problema tiene un sinfín de aplicaciones prácticas:

1. Calcular el ángulo entre dos curvas, planteado por Descartes


2. Construir telescopios, necesidad de Galileo


3. Encontrar máximos y mínimos, problema de Fermat


4. Velocidad y aceleración del movimientos de cuerpos, investigaciones de Galileo y Newton


5. Astronomía, movimiento de los cuerpos celestes , cosmología de Kepler y Newton


6. Seguramente de mucha importancia para artilleros de aquellas épocas y de estas.


7. Física, química, economía, sociología y dentro de muy poco, derecho.

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ECUACIONES DE LA RECTA NORMAL Y LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO

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Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0

Sea (x₁, y₁) un punto de una recta y m su pendiente, entonces su ecuación viene dada por: y - y₁ = m(x - x₁) expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

TEOREMAS:

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1. Si dos rectas l₁ y l₂ son paralelas entonces sus pendientes m₁ y m₂ son iguales, simbólicamente:






2. Si dos rectas l₁ y l₂ son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes m₁ y m₂ es -1, simbólicamente:

Si dos rectas son perpendiculares, es costumbre decir que son normales.

La recta normal a la curva y = f(x) en un punto, es la recta perpendicular a la tangente a dicha curva en el punto dado.

EJEMPLO N° 1:

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Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal (general) a la curva f(x) = x² + 2x en el punto (2, 3).

RECTA TANGENTE

PASO N° 1: Hallamos la derivada de f(x).


PASO N° 2: Evaluamos la derivada en x = 2, para hallar el valor de la pendiente,

PASO N° 3: Aplicamos la fórmula y - y₁ = m(x - x₁) para hallar la ecuación de la recta TANGENTE.

m = 6       y       P(2, 3)

PASO N° 4: Ecuación de la recta tangente:

RECTA NORMAL

PASO N° 1:la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta tangente y de signo contrario.

m = - 1/6       y       P(2, 3)
PASO N° 2: Aplicamos la fórmula y - y₁ = m(x - x₁) para hallar la ecuación de la recta NORMAL.

PASO N° 4: Ecuación de la recta normal: