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PREGUNTAS Y SOLUCION

TÉCNICAS DE CONTEO


1. DIAGRAMA DE ÁRBOL
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento (Espacio Muestral), el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

EJEMPLO N° 1

Una familia tiene tres hijos. Construir un diagrama de árbol con el número de casos posibles y contestar las siguientes preguntas:


Ω = {(M, M, M), M, M, H), M, H, M), M, H, H),(H, M, M), (H, M, H), (H, H, M), (H, H, H)}

8 Posibles Casos

A. El primer hijo sea mujer,     →   A = {(M, M, M), (M, M, H), (M, H, M), (M, H. H)} = 4 Casos  
B. Exactamente dos sean mujer,   →   B = {(M, M, H), (M, H, M), (H, M, M)} = 3 Casos  
C. Se cumplan ambas condiciones  →   C = {(M, M, H), (M, H, M)} = 2 Casos   

EJEMPLO N° 2

Una persona desea comprar una persona lap top, las cuales hay en tres marcas TOSHIBA, HP,LENOVO. TOSHIBA tiene 2 capacidades de memoria RAM (2 y 4 GB) y 3 colores diferentes, la HP tiene 3 capacidades de memoria RAM (2, 6 y 8 GB) y 4 colores diferentes, y la marca LENOVO tiene 1 capacidad de memoria RAM (4 GB) y 2 colores diferentes. ¿Cuantas maneras tiene esta persona de comprar una computadora ?


Ω = {(T, 2, C1), (T, 2, C2), (T, 2, C3), (T, 4, C1), (T, 4, C2), (T, 4, C3), (H, 2, C1), (H, 2, C2), (H, 2, C3), (H, 2, C4), (H, 6, C1), (H, 6, C2), (H, 6, C3), (H, 6, C4), (H, 8, C1), (H, 8, C2), (H, 8, C3), (H, 8, C4), (L, 4, C1), (L, 4, C1)}

20 PC diferentes
Cuántos PC con 2 MG de RAM, → A = {(T,2,C1),(T,2,C2),(T,2,C3),(H,2,C1),(H,2,C2),(H,2,C3),(H,2,C4)} 

2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO (PRINCIPIO MULTIPLICATIVO)
Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m. n” maneras diferentes.

EJEMPLO N° 1

Si en un restaurante, ofertan un menú que consta de: sopa, plato fuerte y postre; con tres variedades de sopa a escoger, cinco de platos fuertes y dos variedades de postre, las posibles formas en que una persona puede escoger un menú es:
  Sopas = 3;      Platos fuertes = 5;      Postres = 2  
                          3       ∙           5           ∙        2        
30 Menus diferentes
EJEMPLO N° 2

De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

                          10       ∙           9           ∙        8        
720 Posibilidades diferentes
EJEMPLO N° 3

De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona puede obtener más de un premio?

                          10       ∙           10           ∙        10        
1000 Posibilidades diferentes

EJEMPLO N° 4

¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir con 3 pantalones (Azul, Gris, Negro) y 4 Camisas (Verde, Azul, Negra, Roja) que compraste?

                                       3       ∙       4
12 Vestidos diferenes

EJEMPLO N° 5

¿De cuántas maneras diferentes se puede combinar la clave (4 Cifras) para un candado, si la primera cifra debe ser impar solo utilizando los números del 1 al 9?

                                   5   ∙   8   .   7   .   6   
1680 Posibles combinaciones

EJEMPLO N° 6

Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower).  ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?”
                                   2   ∙   3   .   2   .   1   
12 Posibles PC diferentes


3. PRINCIPIO ADITIVO
Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A ∩ B = ∅), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.

m + n maneras diferentes
EJEMPLO N° 1

Una entrevista sobre qué color se prefiere entre el rojo y el azul, 30 entrevistados respondieron que prefieren el color rojo y 50 respondieron que prefieren el color azul. Calcule el número total de entrevistados.

En esta cuestión, tenemos dos conjuntos finitos, que son los siguientes:

A = Entrevistados que prefieren el color rojo.
B = Entrevistados que prefieren el color azul.

Conjunto A → n (A) = 30

Conjunto B → n (B) = 50


Para calcular la unión de estos dos conjuntos, debemos hacer lo siguiente:

n(A U B) = n(A) + n(B) = 30 + 50 = 80

80 personas fueron entrevistadas en esa investigación.

EJEMPLO N° 2

Se desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, LG y Haceb, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca Haceb, se presenta en sólo un tipo de carga, que es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras existen de comprar una lavadora?”

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
L = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca LG
H = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Haceb


Conjunto W → n(W) = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

Conjunto L → n (L) = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

Conjunto H → n (H) = 1 x 2 x 1 = 2 maneras


Para calcular la unión de estos dos conjuntos, debemos hacer lo siguiente:

n(A U B) = n(W) + n(L) + n(H) = 16 + 12 + 2 = 30

30 maneras de seleccionar una lavadora


NOTA:
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?


Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.


EJEMPLOS PROPUESTOS


DIAGRAMAS DE ÁRBOL.

1. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?     Solución = 24

2. Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,     Solución = 10

3. Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué (termine) el juego de este hombre, es decir en cuantas formas el hombre queda con 0 Dolares, con 4 Dolares o termina los 5 juegos.     Solución = 11

4. Por ejemplo imagina que ha habido elecciones en el Consejo estudiantil de tu escuela y que cuatro son los finalistas del mismo; sus nombres son Rita, Luis, Paul y Nancy. Pero los cargos a los que aspiran son sólo tres, a saber: presidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas formas diferentes posibles puede armarse este consejo?     Solución = 24

5. ¿Cuántas combinaciones de colores se pueden hacer con los colores primarios (Amarillo, Azul, Rojo) y los colores secundario (Naranja, Violeta, Verde)? si ademas le añadimos Blanco o Negro.     Solución = 18

6. En una agencia de automóviles se ha lanzado una promoción para la adquisición de autos usados de 2 marcas (MAZDA, RENAULT). Los consumidores pueden adquirirlos con llantas normales o deportivas, incluirle algún accesorio (radio, Seguro Automatico o Bluetooth). Además, pueden elegir alguno de los colores de la promoción (amarillo, rojo, azul).     Solución = 36

7. Se lanzan al aire 3 monedas iguales una tras de otra, describe todos los elementos del espacio muestral. ¿En cuantos casos hay por lo menos una cara? y ¿En cuantos casos hay por lo menos 2 sellos?     Solución A = 7 y B = 4

8.. En una urna hay una bola Blanca, una bola Roja y una bola Negra. Las extraemos de una en una y anotamos ordenadamente los resultados.

A. Escribe mediante un diagrama de árbol todos los posibles resultados.     Solución = 6 Resultado

B. Si añadimos una bola Verde los posibles resultados.     Solución = 24

9. Dos amigos juegan al tenis y acurdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en que puede desarrollarse el partido.     Solución = 6 Juegos

10. Formar todos los números de cuatro cifras que se pueden hacer con los dígitos 1 y 2, ¿Cuántos números son?     Solución = 16 Números

11. Si queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores Rojo, Azul, Negro, Verde y Amarillo, ¿Cuántos modelos pueden formrse?     Solución = 10 Modelos

12. ¿Cuantos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5?     Solución = 20 Números

13. Queremos construir un dominó con los números 1, 2, 3, 4, 5. Describe sus posibles fichas.     Solución = 15 Fichas

14. Describe todos los partidos que han de jugarse en una liga de futbol con 5 equipos A, B, C, D, E.     Solución = 10 Partidos

15. Si tienes tres pantalones (AZUL, NEGRO, BLANCO) y cuatro camisetas (AZUL, ROJA, VERDE, BLANCA), describe todas las indumentarias que puedes vestir sin que coincidan el color de las dos prendas.     Solución = 12 Vestidos diferentes

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

1. Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower). ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?.     12 PC diferentes

2. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.     336 Números diferentes

3. Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden repetirse.     343 Números diferentes

4. Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.     6 Formas diferentes

5. Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.     24 Formas diferentes

6. Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.     840 Formas diferentes

7. Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y {1,3,4,5,7,8,9}.     100800 Placas diferentes

8. Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.     90 Números diferentes

9. Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.     36 Palabras diferentes

10. Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?     72 Servidores diferentes

11. Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?     32760 Juntas Directivas diferentes

12. Supongamos que existe un código de seguridad que intercala dos letras con dos números y deseamos saber el número de códigos que se pueden emitir en total. Tomemos 26 letras y 10 números, entonces el número sería de:     67600 Codigos diferentes

13. Con los números dígitos (del o al 9), ¿Cuántos números pares de 5 cifras con un cero en la mitad podemos escribir?     4500 Codigos diferentes

PRINCIPIO ADITIVO

1. Una persona puede pagar el servicio de agua potable en cualquiera de las 7 oficinas municipales o bien en cualquiera de los 30 bancos de la ciudad, ¿en cuántos lugares diferentes se puede pagar el servicio de agua potable? 37 Formas diferentes de realizar el pago

2. La biblioteca de una universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología. Cuantas formas existen de realizar la lectgura    90 Formas diferentes

3. Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportarnos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren. ¿Cuantas rutas diferentes puedo hacer?     5 Rutas diferentes

4. Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?,    7 Rutas diferentes

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