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PREGUNTAS Y SOLUCION

NÚMEROS REALES

1. NÚMEROS NATURALAES


Llamaremos conjunto de los números NATURALES aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Dicho conjunto lo denotamos por N.

Los números naturales: surgen de la necesidad de contar. Con ellos, se trataron las operaciones con sus respectivas propiedades y la teoría de números (múltiplos, divisores, MCD, mcm, etc.).

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos:

  • Para especificar el número de elementos de un conjunto finito.
  • Describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

Es preciso señalar que el número cero no es considerado como un número natural.

N = {1, 2, 3, 4,....}



2. NÚMEROS ENTEROS


La insuficiencia de los números naturales (N) para cumplir con la propiedad clausurativa con la resta en casos como 5 – 7 = -2, 10 – 10 = 0 y resolver ecuaciones como x + 3 = 1 y representar situaciones como deber, debajo, bajo cero, etc., hizo necesario ampliar el conjunto de los números naturales, Para ello se les añadió el cero (0) y los números negativos, surgiendo así el conjunto de los números enteros: Z = {....-3, -2, -1,0, 1, 2, 3,....}. Podemos decir entonces que Z = Z- U { 0 } U N .

Con ellos, se trataron nuevamente las operaciones con sus respectivas propiedades, el valor absoluto y las relaciones de orden, pero se hizo la claridad de que todo número natural es entero, o sea, N C Z.


Llamaremos conjunto de los números ENTEROS y los denotamos con la letra Z, al conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}



3. NÚMEROS RACIONALES


La insuficiencia de los naturales y los enteros para cumplir la propiedad clausurativa de la división en casos como ; resolver ecuaciones de la forma ax + b = C. Ejemplo: 3x + 2 = 7 y hacer referencia a partes o pedazos de algo, hizo necesario ampliar el conjunto de los números enteros, dando lugar al conjunto de los números racionales: Q. Q = {a/b a ϵ Z ^ b ϵ Z ≠ 0}.

Con ellos, se trataron las operaciones y sus propiedades, la amplificación y simplificación, su representación y las relaciones de orden. Se hizo especial hincapié en que todo entero es racional, o sea, Z C Q y N C Q .


Llamaremos conjunto de los números RACIONALES y los denotamos con la letra Q, al conjunto de números que incluye a los números NATURALES (1, 2, 3, ...), los números ENTEROS (..., −3, −2, −1) y los números DECIMALES PERIÓDICOS.

  • Los decimales finitos o exactos: son aquellos que tienen un número determinado de cifras decimales. (Se pueden contar)
      Ejemplos: 1/2 = 0.5   →   3/4 = 0.75
  • Los decimales periódicos puros: Son aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales iguales y que se repiten inmediatamente después de la coma .
      Ejemplos: 1/3 = 0.3333333...   →   3/4 = 0.66666666...
  • Los decimales periódicos mixtos: Son aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales iguales pero no se repiten inmediatamente después de la coma .
      Ejemplos: 7/12 = 0.583333333...   →   5/18 = 0.27777777...

Q = {... 9/2, -3, -2, -3/2, -1, 0, 0.75, 1, 1.5, 2, 3,...}



4. NÚMEROS IRRACIONALES


Pero existen otros decimales infinitos que no son periódicos, generalmente provienen de raíces inexactas, números especiales como o e, logaritmos, razones trigonométricas o combinación de ellos mediante operaciones. Este tipo de expresiones infinitos no periódicos, no son racionales, son llamados IRRACIONALES: Q*. Con ellos se completa la recta numérica. La unión de los racionales e irracionales forma el conjunto de los NÚMEROS REALES: R = Q U Q*

Se hace especial hincapié en que ningún numero RACIONAL es un número IRRACIONAL, o sea, Q Q* , o tambien puede decirse que Q ∩ Q* = Ø

Q* = {... √2, √3, e, π, √50 ...}



5. NÚMEROS REALES


Llamaremos conjunto de los números reales R , al conjunto formado por todos los números RACIONALES Q y todos los números IRRACIONALES Q* NÚMEROS REALES: R = {x/x ϵ R Q v x ϵ Q *}


RECTA NUMERICA


En la recta numérica se representan todos los números reales y se cumple que a cada punto de la recta real le corresponde un único número real.


R = {...-2, -1,5, -√2, 0, 1, √2, 3/2, √3, 2, e, 3, π, √10 ...}



6. NÚMEROS IMAGINARIOS


La imposibilidad de extraer la raíz de Índice par a cantidades negativas da origen a los NÚMEROS IMAGINARIOS: I = {x/x = bi, b ϵ R ^ b ≠ 0 , i = √-1}

7. NÚMEROS COMPLEJOS


La ecuación cuadrática x2 + 2ax + a2 + b2, no tiene solución en R, pero tiene solución en el conjunto de todos los números de la forma a + bi, que amplia estos conjuntos al campo de los NÚMEROS COMPLEJOS: C = {x/x = a + bi, a,b ϵ R ^ b ≠ 0 , i = √-1}

EJERCICIOS PROPUESTOS:


A continuación encontraras un test con 20 ejercicios propuestos, la invitación es a que resuelvas cada uno de estos ejercicios seleccionando en los cuadros que aparecen al lado izquierdo los conjuntos numericos a los que pertenece cada número propuesto.


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